Проведем радиусы OA и OB, так как треугольник вписанный, то радиусы являются биссектрисами углов при основании. Следовательно, углы OAB и OBC равны по 45°.
Рассмотрим треугольник AOB:
OA = OB = 6 (по условию)
Угол AOB = 90° (так как OC - диаметр окружности)
По теореме Пифагора найдем AB:
AB² = OA² + OB² = 6² + 6² = 72
AB = √72 = 6√2
Рассмотрим треугольник OBC:
OC = 6
Угол OBC = 45°
По теореме Пифагора найдем BC:
BC² = OC² + OB² = 6² + 6² = 72
BC = √72 = 6√2
Площадь треугольника ABC по формуле Герона:
S = √p(p-a)(p-b)(p-c)
где p - полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + AC)/2
AC = AB = BC (так как треугольник равнобедренный)
p = (6√2 + 6√2 + 6√2)/2 = 9√2
S = √9√2(9√2-6√2)(9√2-6√2)(9√2-6√2)
S = √9√2(3√2)²(3√2)²
S = √9√2 * 9 * 18
S = 54√2