В книге подробно изложена теория обратных тригонометрических функций. На примере задач, предлагавшихся на вступительных испытаниях по математике в МГУ им. М.В. Ломоносова (как основных, так и предварительных) и различных олимпиадах, изложены основные методы решения задач на обратные тригонометрические функции. Для самостоятельного решения в брошюре собраны задачи вступительных экзаменов на различные факультеты МГУ. Задачи сгруппированы по типам, что позволяет составить представление о характере и сложности экзаменационных задач на обратные тригонометрические функции. Ко всем задачам даны ответы. Книга будет полезна абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам по математике в ВУЗы и выпускникам средних школ, претендующим на высокую оценку по ЕГЭ.
Содержание
Предисловие редакции 6
Предисловие 7
Глава 1. Определения обратных тригонометрических функций 11
1.1. Определение функции у = arctg x 11
1.2. Определение функции у = arcetg x 21
1.3. Определение функции у = arcsin x 26
1.4. Определение функции у = arccos x 34
Глава 2. Свойства arc-функций 42
2.1. Свойства типа четности/нечетности 42
2.2. Связь arc-функций и агс-кофункций одного аргумента 47
2.3. Связь arc-функций и агс-кофункций разных аргументов 52
2.4. Тождества для значений тригонометрических функций от arc-функций 61
2.4.1. Тождества для выражений вида F(arcF(x)) 61
2.4.2. Тождества для выражений вида F(arcG(x)) 62
2.4.3. Тождества для выражений вида F(2arcG(x)) 64
2.4.4. Многочлены Чебышева 67
2.4.5. Тождества для выражений вида F -arcG(x) 77
2.5. Тождества для выражений вида 2arcF(t) 82
2.6. Тождества для выражений вида 1агсВД 85
2.7. Тождества для выражений вида arcF(x) + SircF(y) 87
2.8. Тождества для выражений вида arcF(F(x)) 93
2.8.1. График функции у = arcsin(sin x) 93
2.8.2. График функции у = arccos(cos x) 101
2.8.3. График функции у = arctg(tg x) 103
2.8.4. График функции у = arcctg(ctg x) 104
Глава 3. Примеры решения задач 108
3.1. Тождества и преобразования 108
3.2. Графики 124
3.3. Уравнения 136
3.4. Системы уравнений 166
3.5. Неравенства 170
3.6. Задачи с параметром 197
Глава 4. Задачи для самостоятельного решения 213
4.1. Тождества и преобразования 213
4.2. Графики 215
4.3. Уравнения 216
4.4. Системы уравнений 217
4.5. Неравенства 218
4.6. Задачи с параметром 218
