Предисловие 3
Глава I. Элементы математической логики 5
§1. Высказывания и операции над ними 5
§2. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования 7
§3. Некоторые приемы доказательства 8
§4. Метод математической индукции 10
Ответы к главе 1 11
Глава II. Множества и операции над ними 13
§1. Операции над множествами 13
§2. Целые, рациональные и иррациональные числа 15
§3. Степени и корни 17
§4. Логарифмы 21
§5. Суммирование 25
§6. Числовые неравенства 29
Задачи повышенной сложности к главе II 30
Ответы к главе II 33
Глава III. Функции 37
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции 37
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям 39
§3. Свойства функций 40
§4. Графики функций 44
Задачи повышенной сложности к главе III 46
Ответы к главе III 48
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства 56
§1. Рациональные уравнения 56
§2. Рациональные неравенства 61
§3. Иррациональные уравнения 64
§4. Уравнения с модулем 67
§5. Иррациональные неравенства 69
§6. Неравенства с модулем 72
Задачи повышенной сложности к главе IV 74
Ответы к главе IV 76
Глава V. Тригонометрические формулы 84
§1. Тригонометрическая окружность 84
1. Градусная и радианная меры угла (84);
2. Точки тригонометрической окружности, соответствующие заданным числам, их декартовы координаты (84);
3. Пересечение и объединение числовых множеств, соответствующих точкам тригонометрической окружности (86);
4. Аналитическое задание дуг тригонометрической окружности (86).
§2. Синус, косинус тангенс и котангенс 88
1. Вычисление значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (88);
2. Определение знаков синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (90);
3. Сравнение и оценка значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (91);
4. Формулы приведения (91).
§3. Тригонометрические формулы 93
1. Зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла (93);
2. Формулы сложения (94);
3. Формулы кратных и половинных углов (96);
4. Формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму (98).
§4. Преобразование тригонометрических выражений 98
§5. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс 106
Задачи повышенной сложности к главе V 110
Ответы к главе V 111
Глава VI. Комплексные числа 117
§1. Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения 117
§2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления комплексных чисел 118
§3. Геометрическое изображение комплексных чисел 120
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа 123
§5. Извлечение корня из комплексного числа 124
§6. Алгебраические уравнения 125
Задачи повышенной сложности к главе VI 127
Ответы к главе VI 128
Глава VII. Многочлены от одной переменной 131
§1. Основные определения 131
§2. Схема Горнера 133
§3. Теорема Безу. Корни многочлена 135
§4. Алгебраические уравнения 137
Задачи повышенной сложности к главе VII 139
Ответы к главе VII 140
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений 143
Задачи повышенной сложности к главе VIII 149
Ответы к главе VIII 152
Глава IX. Предел и непрерывность функции 157
§1. Числовые последовательности и их свойства 157
1. Способы задания числовых последовательностей (157);
2. Исследование числовых последовательностей на монотонность (158);
3. Исследование числовых последовательностей на ограниченность (159).
§2. Предел последовательности 161
1. Определение предела последовательности (161);
2. Вычисление предела последовательности (163).
§3. Предел функции 167
1. Определение предела функции на бесконечности (167);
2. Вычисление пределов функции на бесконечности (168);
3. Определение предела функции в точке (169);
4. Вычисление предела функции в точке (170);
5. Различные типы пределов (171).
§4. Непрерывность функции 174
§5. Техника вычисления пределов 176
Задачи повышенной сложности к главе IX 177
Ответы к главе IX 178
Глава X. Степенная, показательная и логарифмическая функции 182
§1. Степенная функция 182
§2. Показательная функция 185
§3. Логарифмическая функция 187
§4. Показательные уравнения 190
§5. Показательные неравенства 193
§6. Логарифмические уравнения 195
§7. Логарифмические неравенства 198
§8. Смешанные уравнения и неравенства 201
Задачи повышенной сложности к главе X 204
Ответы к главе X 205
Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 213
§1. Функции синус и косинус 213
§2. Функции тангенс и котангенс 218
§3. Обратные тригонометрические функции 221
§4. Первый замечательный предел 222
Задачи повышенной сложности к главе XI 223
Ответы к главе XI 225
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства 232
§1. Простейшие тригонометрические уравнения 232
§2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим путем замены переменной 236
§3. Метод разложения на множители. Типичные преобразования, используемые для упрощения тригонометрических уравнений 238
§4. Метод оценки левой и правой частей уравнения 243
§5. Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения, содержащие знаки модуля, корни и логарифмы 244
§6. Решение тригонометрических уравнений с параметром 246
§7. Решение тригонометрических неравенств 248
§8. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции 250
Задачи повышенной сложности к главе XII 251
Ответы к главе XII 253
Глава XIII. Производная и дифференциал 262
§1. Определение производной. Производные функций хп, sin х, cos x 262
§2. Производные показательной и логарифмической функций 264
§3. Правила дифференцирования 265
§4. Производная сложной функции и обратных функций 267
§5. Односторонние и бесконечные производные 268
§6. Дифференциал функции 269
§7. Геометрический и физический смыслы производной 270
Задачи повышенной сложности к главе XIII 275
Ответы к главе XIII 276
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций 280
§1. Основные теоремы для дифференцируемых функций 280
§2. Возрастание и убывание функции 281
§3. Экстремумы функции 282
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции 284
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 291
§6. Построение графиков функций 292
Задачи повышенной сложности к главе XIV 294
Ответы к главе XIV 298
Глава XV. Первообразная и интеграл 309
§1. Первообразная функции 309
§2. Неопределенный интеграл 310
§3. Определенный интеграл 313
§4. Применение определенного интеграла к вычислению площадей 315
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам 319
Задачи повышенной сложности к главе XV 321
Ответы к главе XV 322
Глава XVI. Дифференциальные уравнения 327
§1. Основные понятия 327
§2. Уравнения с разделяющимися переменными 327
§3. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков с постоянными коэффициентами 329
Ответы к главе XVI 331
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов 333
§1. Показательные и логарифмические системы 333
§2. Тригонометрические системы 337
Задачи повышенной сложности к главе XVII 341
Ответы к главе XVII 343
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными 346
§1. Геометрическое описание решений уравнений, неравенств и систем с двумя переменными 346
§2. Аналитические приемы решений уравнений и неравенств с двумя переменными 350
§3. Использование геометрического подхода для решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными, содержащих параметры 351
Задачи повышенной сложности к главе XVIII 352
Ответы к главе XVIII 354
Глава XIX. Делимость целых чисел. Целочисленные решения уравнений 363
§1. Делимость чисел 363
§2. Сравнения 366
§3. Решение уравнений в целых числах 367
§4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными 369
Задачи повышенной сложности к главе XIX 372
Ответы к главе XIX 373
Глава XX. Элементы комбинаторики 375
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 375
1. Правило произведения (375);
2. Правило суммы и формула включений и исключений (376);
3. Перестановки (377);
4. Перестановки с повторениями (377).
§2. Сочетания и размещения 380
§3. Комбинаторные соотношения 385
Задачи повышенной сложности к главе XX 386
Ответы к главе XX 387
Глава XXI. Элементы теории вероятностей 389
§1. Основные понятия теории вероятностей 389
1. Множество элементарных исходов эксперимента (389);
2. События и действия над ними (390);
3. Классическое определение вероятности (392);
4. Геометрическая вероятность (394).
§2. Сложение вероятностей 397
§3. Условная вероятность. Независимость событий 399
1. Условная вероятность (399);
2. Формула умножения вероятностей (400);
3. Независимые события (400);
4. Формула полной вероятности (401).
§4. Формула Бернулли 404
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 405
1. Понятие случайной величины (405);
2. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины (405);
3. Биномиальное распределение (406).
Задачи повышенной сложности к главе XXI 407
Ответы к главе XXI 408
Глава XXII. Разные задачи 412
§1. Текстовые задачи 412
§2. Многочлены от одной переменной 427
§3. Графики функций 429
§4. Задачи на координатной плоскости 432
§5. Задачи с параметрами 436
Ответы к главе XXII 441
Глава XXIII. Избранные задачи повышенного и высокого уровней сложности из вариантов ЕГЭ 444
§1. Преобразование и вычисление значений выражений 444
§2. Функции 445
§3. Уравнения и системы уравнений 450
§4. Неравенства 453
§5. Текстовые задачи 455
Ответы к главе XXIII 456
Приложение Материал для подготовки к ЕГЭ 458
§1. ЕГЭ 2005 г 458
Часть 2 (459); Часть 3 (461).
§2. ЕГЭ 2006 г 462
Часть 2 (463); Часть 3 (464).
§3. ЕГЭ 2007 г 466
Часть 2 (467); Часть 3 (469).
§4. ЕГЭ 2008 г 470